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  3. 设向量组α1，α2线性无关，向量组α1+b，α2+b线性相关，证明：向量b能由向量组α1，α2线性表示。

设向量组α1，α2线性无关，向量组α1+b，α2+b线性相关，证明：向量b能由向量组α1，α2线性表示。

admin2017-12-29  39
问题 设向量组α1，α2线性无关，向量组α1+b，α2+b线性相关，证明：向量b能由向量组α1，α2线性表示。
选项
答案因为α1，α2线性无关，α1+b，α2+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k1，k2，使 k1（α1+b）+k2（α2+b）=0，则有（k1+k2）b=一k1α1一k2α2。 又因为α1，α2线性无关，若k1α1+k2α2=0，则k1=k2=0，这与k1，k2不全为零矛盾，于是有k1α1+k2α2≠0，（k1+k2）b≠0。 综上k1+k2≠0，因此由（k1+k2）b=一kα1一k2α2得 [*]α2，k1，k2∈R，k1+k2≠0。
解析
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考研数学三

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