设向量组α1，α2线性无关，向量组α1+b，α2+b线性相关，证明：向量b能由向量组α1，α2线性表示。

admin2017-12-29 53

问题设向量组α₁，α₂线性无关，向量组α₁+b，α₂+b线性相关，证明：向量b能由向量组α₁，α₂线性表示。

选项

答案因为α₁，α₂线性无关，α₁+b，α₂+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k₁，k₂，使 k₁（α₁+b）+k₂（α₂+b）=0，则有（k₁+k₂）b=一k₁α₁一k₂α₂。又因为α₁，α₂线性无关，若k₁α₁+k₂α₂=0，则k₁=k₂=0，这与k₁，k₂不全为零矛盾，于是有k₁α₁+k₂α₂≠0，（k₁+k₂）b≠0。综上k₁+k₂≠0，因此由（k₁+k₂）b=一kα₁一k₂α₂得 [*]α₂，k₁，k₂∈R，k₁+k₂≠0。

解析

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