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设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
admin
2021-01-25
149
问题
设λ
1
,λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,则α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )
选项
A、λ
1
=0。
B、λ
2
=0。
C、λ
1
≠0。
D、λ
2
≠0。
答案
D
解析
方法一:令k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0,则(K
1
+k
2
λ
1
)α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0。
由于α
1
,α
2
线性无关,于是有
.
当λ
2
≠0时,显然有k
1
=0,k
2
=0,此时α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关;反过来,若α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关,则必然有λ
2
≠0(否则,α
1
与A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
线性相关)。故应选D。
方法二:由于[α
1
,A(α
1
+α
2
)]=(α
1
,λ
1
α
1
+λ
2
α
2
)=(α
1
,α
2
)
,可见α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充要条件是
=λ
2
≠0。
故应选D。
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考研数学三
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