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  3. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

admin2021-01-25  109
问题 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(    )
选项 A、λ1=0。
B、λ2=0。
C、λ1≠0。
D、λ2≠0。
答案D
解析 方法一：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(K1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
由于α1，α2线性无关，于是有．
    当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故应选D。
方法二：由于[α1，A(α1+α2)]=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，可见α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件是
    =λ2≠0。
故应选D。
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考研数学三

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