设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

admin2021-01-25  68

问题 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α12)线性无关的充分必要条件是(    )

选项 A、λ1=0。
B、λ2=0。
C、λ1≠0。
D、λ2≠0。

答案D

解析 方法一:令k1α1+k2A(α12)=0,则(K1+k2λ11+k2λ2α2=0。
由于α1,α2线性无关,于是有
    当λ2≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时α1,A(α12)线性无关;反过来,若α1,A(α12)线性无关,则必然有λ2≠0(否则,α1与A(α12)=λ1α1线性相关)。故应选D。
方法二:由于[α1,A(α12)]=(α1,λ1α12α2)=(α1,α2),可见α1,A(α12)线性无关的充要条件是
    2≠0。
故应选D。
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