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  3. 非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．

非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．

admin2019-05-08  66
问题 非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则(    )．
选项 A、r=m时，方程组AX=b有解
B、r=n时，方程组AX=b有唯一解
C、m=n时，方程组AX=b有唯一解
D、r＜n时，方程组AX=b有无穷多解
答案A
解析 解一  因A为m×n矩阵，若秩(A)=m，则m=秩(A)≤秩([A|b])≤m，于是秩(A)－秩([A|b])=m，故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解．仅(A)入选．
    解二  由秩(A)=m知，A的行向量组线性无关，其延伸向量组必线性无关，故增广矩阵[A|b]的m个行向量也线性无关，故秩(A)=秩([A|b])=秩(A)=m，所以仅(A)入选．
    解三  因选项(B)、(C)、(D)中均不能保证秩(A)=秩([A|b])，因而都不能保证方程组有解，更谈不上是唯一解或无穷多解．
    上例选项(A)中的结论可写成如下命题的形式，可直接使用．
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考研数学三

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