求函数f(x，y，z)=2x2+2y2+3z2+2在椭球体V：4x2+4y2+z2≤4上的最大值与最小值．

admin2023-01-04 7

问题求函数f(x，y，z)=2x²+2y²+3z²+2在椭球体V：4x²+4y²+z²≤4上的最大值与最小值．

选项

答案由[*]，得(0，0，0)为V内唯一驻点．又由f(x，y，z)中2x²，2y²，2z²，知(0，0，0)为V内的最小值点，最小值为f(0，0，0)=2．在V：4x²+4y²+z²=4上，解得z²=4-4x²-4y²．代入f(x，y，z)中，有 f(x，y，z)=2x²+2y²+3(4-4x²-4y²)+2=14-10x²-10y²．令[*]，得x=y=0，z=±2． [*] 在点(0，0)处，AC-B²＞0，A=-20＜0，故(0，0，2)，(0，0，-2)为f(x，y，z)在椭球面上的极大值点，也是最大值点，最大值为f(0，0，±2)=14．综上所述，f(x，y，z)在V上的最小值为2．最大值为14．

解析

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