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求函数f(x,y,z)=2x2+2y2+3z2+2在椭球体V:4x2+4y2+z2≤4上的最大值与最小值.
求函数f(x,y,z)=2x2+2y2+3z2+2在椭球体V:4x2+4y2+z2≤4上的最大值与最小值.
admin
2023-01-04
17
问题
求函数f(x,y,z)=2x
2
+2y
2
+3z
2
+2在椭球体V:4x
2
+4y
2
+z
2
≤4上的最大值与最小值.
选项
答案
由[*],得(0,0,0)为V内唯一驻点.又由f(x,y,z)中2x
2
,2y
2
,2z
2
,知(0,0,0)为V内的最小值点,最小值为f(0,0,0)=2. 在V:4x
2
+4y
2
+z
2
=4上,解得z
2
=4-4x
2
-4y
2
.代入f(x,y,z)中,有 f(x,y,z)=2x
2
+2y
2
+3(4-4x
2
-4y
2
)+2=14-10x
2
-10y
2
. 令[*],得x=y=0,z=±2. [*] 在点(0,0)处,AC-B
2
>0,A=-20<0,故(0,0,2),(0,0,-2)为f(x,y,z)在椭球面上的极大值点,也是最大值点,最大值为f(0,0,±2)=14. 综上所述,f(x,y,z)在V上的最小值为2.最大值为14.
解析
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考研数学一
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