首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
admin
2014-01-26
85
问题
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
(1)根据t时刻液面的面积,写出t与ψ(y)之间的关系式;
(2)求曲线x=ψ(y)的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分)
选项
答案
(1)设在t时刻。液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为πψ
2
(y)=4π+πt,从而t=ψ
2
(y)-4. (2)液面的高度为y时,液体的体积为π∫
0
y
ψ
2
(u)du=3t=3ψ
2
(y)-12. 上式两边对y求导,得 πψ
2
(y)=6ψ(y)ψ’(y),即 πψ(y)=6qψ’(y). 解此方程,得 [*],其中C为任意常数, 由ψ(0)=2知C=2, 故所求曲线方程为 [*].
解析
[分析] 液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大,因此t时刻液面面积应为2
2
π+πt,而液面为圆,其面积可直接计算出来,由此可导出t与ψ(y)之间的关系式;又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算,已知t时刻的液体体积为3t,它们之间也可建立积分关系式,求导后转化为微分方程求解即可.
[评注] 作为应用题,本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6m34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(07年)如图,连续函数y=f(χ)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周.设F(χ)=∫0χf(t)dt,则下列结论正确的是【】
已知方程x5—5x+k=0有3个不同的实根,则k的取值范围是()
(2011年)设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布,其中G是由x-y=0,x+y=2与y=0所围成的区域。(Ⅰ)求边缘概率密度fX(x);(Ⅱ)求条件概率密度fX|Y(x|y)。
设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):ATAN=0,必有()
[2018年]下列函数中,在x=0处不可导的是()
[2017年]设二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及一个正交矩阵Q.
设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2。(Ⅰ)证明:r(A)=2;(Ⅱ)设β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。
微分方程:xy’=+y的通解为________。
微分方程xy′+y=0满足y|x=1=1的特解为__________.
设钢管内径X服从正态分布N(μ,σ2),规定内径在98到102之间的为合格品;超过102的为废品,不是98的为次品.已知该批产品的次品率为15.9%,内径超过101的产品在总产品中占2.28%,求整批产品的合格率.
随机试题
厚1mm长500mm的奥氏体不锈钢等离子弧焊焊缝表面咬边深度≤()mm,焊缝两侧咬边总长不超过50mm。
使用避污纸正确的方法是
关于一期梅毒的叙述,错误的是()
企业外部环境分析中,对高新技术及高新技术产业化发展趋势进行的调查研究是()。
在账务核算系统中,“应收账款”科目通常设置()辅助核算。
从企业的角度,薪酬具有的功能有增值和()。
党的十八大报告强调推进经济结构的战略性调整,着力解决制约经济持续健康发展的重大结构性问题。着力解决重大结构性问题要牢牢把握的战略基点是
Readthearticlebelowaboutasuccessfulbusinesspartnership.Foreachquestion(23-28)ontheoppositepage,choosethecorrect
RitualChildKillingsSpreadAlarm,AngerinIvoryCoastAtleast21childrenhavebeenkidnappedinIvoryCoastsinceDecemb
Historianscantracethefoundationsofplasticsurgeryasfarbackasabout2,600yearsagotoancientIndiawherefacialsurge
最新回复
(
0
)