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在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asin x(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.
在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asin x(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.
admin
2018-08-12
76
问题
在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asin x(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的曲线积分∫
L
(1+y
3
)dx+(2x+y)dy的值最小.
选项
答案
取L:y=asin x,x:0→π(a>0).则 I(a)=∫
L
(1+y
3
)dx+(2x+y)dy =∫
0
π
(1+a
3
sin
3
x)dx+(2x+asin x)d(asinx) =∫
0
π
(1+a
3
sin
3
x+2axcos x+a
2
sinx cosx)dx =∫
0
π
dx+a
3
∫
0
π
sin
3
xdx+2a∫
0
π
xcosxdx+a
2
∫
0
π
sinxcosxdx =[*]. 令I’(a)=0,则4a
2
-4=0,得a=1,a=一1(舍去). I"(a)=8a,I"(1)=8>0,从而当a=1时,曲线积分取得最小值[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6mj4777K
0
考研数学二
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