2. 考研
  3. 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

admin2018-08-12  56
问题 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．
选项
答案取L：y=asin x,x：0→π(a＞0)．则 I(a)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy =∫0π(1+a3sin3x)dx+(2x+asin x)d(asinx) =∫0π(1+a3sin3x+2axcos x+a2sinx cosx)dx =∫0πdx+a3∫0πsin3xdx+2a∫0πxcosxdx+a2∫0πsinxcosxdx =[*]． 令I’(a)=0，则4a2-4=0，得a=1，a=一1(舍去)． I"(a)=8a，I"(1)=8＞0，从而当a=1时，曲线积分取得最小值[*]
解析
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考研数学二

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