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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f’(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f’(ξ).
admin
2018-05-23
42
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=
f
’
(ξ).
选项
答案
令φ(x)=(b一x)
a
f(x),显然φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. 因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ
’
(ξ)=0. 由φ
’
(x)=(b一x)
a-1
[(b一x)f
’
(x)一af(x)]得 (b一ξ)
a-1
[(b一ξ)f
’
(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)
a-1
≠0,故f(ξ)=[*]f
’
(ξ).
解析
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考研数学一
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