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  3. 已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm－1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm－1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm－1线性表示，并说明理由．

已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm－1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm－1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm－1线性表示，并说明理由．

admin2019-01-23  29
问题 已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm－1表出，试判断：
(Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm－1，β线性表示；
(Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm－1线性表示，并说明理由．
选项
答案αm不能用α1，α2，…，αm－1线性表示，但能用α1，α2，…，αm－1，β线性表示． 因为β可用α1，α2，…，αm线性表示．可设 x1α1+x2α2+…+xmαm=β， (*) 则必有xm≠0，否则β可用α1，α2，…，αm－1线性表示，与已知矛盾．所以 αm=[*](β－x1α1－x2α2－…－xm－1αm－1)， 即αm可由α1，α2，…，αm－1，β线性表示． 如αm=l1α1+l2α2+…+lm－1αm－1，代入(*)式知β=(x1+l1xm)α1+(x2+l2xm)α2+…+(xm－1+lm－1xm)αm－1与已知矛盾．即αm不能用α1，α2，…，αm－1线性表示．
解析
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考研数学一

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