设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值

admin2016-03-18 53

问题设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x²+y²)f(x²+y²)满足

，求f(x)在[1，+∞)的最大值

选项

答案[*]=2xf+2x(x²+y²) fˊ [*]=2f+(10x²+2y²) fˊ +(4x⁴+4x²y²)厂，根据对称性得 [*]=2f+(10y²+2x²) fˊ+(4y⁴+4x²y²) fˊˊ [*]=4f+12(x²+y²) fˊ+4(x²+y²)² fˊˊ 令x²+y²=r，由[*]得f+3rfˊ+r²fˊ=0，令r=e^t，[*]整理得 [*] 解得f=(C₁+C₂t)e^－t，于是f(r)=( C₁+C₂lnr)[*]，由f(1)=0，得C₁=0，f(r)=[*]，fˊ(r)=[*]，由fˊ(1)=1，得C₂=1，于是[*]，得x=e，当x∈(1，e)时，fˊ(x)＞0，当x＞e时，fˊ(x)＜0，则x=e为f(x)在[1，+∞)上的最大值点，最大值为[*]

解析

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考研数学一

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