设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,fˊ(1)=1,且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足,求f(x)在[1,+∞)的最大值

admin2016-03-18  36

问题 设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,fˊ(1)=1,且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足,求f(x)在[1,+∞)的最大值

选项

答案[*]=2xf+2x(x2+y2) fˊ [*]=2f+(10x2+2y2) fˊ +(4x4+4x2y2)厂, 根据对称性得 [*]=2f+(10y2+2x2) fˊ+(4y4+4x2y2) fˊˊ [*]=4f+12(x2+y2) fˊ+4(x2+y2)2 fˊˊ 令x2+y2=r,由[*]得f+3rfˊ+r2fˊ=0, 令r=et,[*]整理得 [*] 解得f=(C1+C2t)e-t,于是f(r)=( C1+C2lnr)[*],由f(1)=0,得C1=0,f(r)=[*],fˊ(r)=[*],由fˊ(1)=1,得C2=1,于是[*],得x=e,当x∈(1,e)时,fˊ(x)>0,当x>e时,fˊ(x)<0,则x=e为f(x)在[1,+∞)上的最大值点,最大值为[*]

解析
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