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  3. 设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值

设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值

admin2016-03-18  55
问题 设f(x)在[1，＋∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，fˊ(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足，求f(x)在[1，+∞)的最大值
选项
答案[*]=2xf+2x(x2+y2) fˊ [*]=2f+(10x2+2y2) fˊ +(4x4+4x2y2)厂， 根据对称性得 [*]=2f+(10y2+2x2) fˊ+(4y4+4x2y2) fˊˊ [*]=4f+12(x2+y2) fˊ+4(x2+y2)2 fˊˊ 令x2+y2=r，由[*]得f+3rfˊ+r2fˊ=0， 令r=et，[*]整理得 [*] 解得f=(C1+C2t)e－t，于是f(r)=( C1+C2lnr)[*]，由f(1)=0，得C1=0，f(r)=[*]，fˊ(r)=[*]，由fˊ(1)=1，得C2=1，于是[*]，得x=e，当x∈(1，e)时，fˊ(x)＞0，当x＞e时，fˊ(x)＜0，则x=e为f(x)在[1，+∞)上的最大值点，最大值为[*]
解析
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考研数学一

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