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已知矩阵A= (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
已知矩阵A= (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
admin
2021-01-19
139
问题
已知矩阵A=
(Ⅰ)求A
99
;
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
)满足B
2
=BA,记B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
),将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.
选项
答案
(Ⅰ)利用方阵A的相似对角化来求方阵A的幂,为此先来求A的特征值与特征向量,由|λE 一A|=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0. 得A的全部特征值为λ
1
=0,λ
2
=一1,λ
3
=一2,对于特征值λ
1
=0,解方程组Ax=0,得对应的特征向量ξ
1
=(3,2,2)
T
,对于特征值λ
2
=一1,解方程组(一E一A)x=0,得对应的特征向量ξ
2
=(1,1,0)
T
,对于特征值λ
3
=一2,解方程组(一2E一A)x=0,得对应的特征向量ξ
3
=(1,2,0)
T
, 令矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*] 于是得 A
99
=(PDP
一1
)
99
= PD
99
P
一1
[*] (Ⅱ)因为B
2
=BA,所以 B
100
=B
98
B
2
=B
99
A=B
97
B
2
A=B
98
A
2
=…=BA
99
. 即 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
) [*]
解析
利用方阵的对角化来求方阵的幂,是特征值与特征向量的一种重要应用,本题综合考查方阵特征值与特征向量的计算及其应用、以及矩阵的运算和应用.在本题(Ⅰ)中,矩阵P和D都不是唯一的,但只要运算正确,则求出的A
99
是唯一的.在本题(Ⅱ)中,要求一组数c
ij
(i,j=1,2,3),使得β
j
=c
1j
α
1
+c
2j
α
2
+c
3j
α
3
=(α
1
,α
2
,α
3
)
(j=1,2,3),写成矩阵形式就是(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
,即B
100
= BC,因此问题归结为求满足B
100
=BC的矩阵C,于是自然想到要利用题设条件B
2
=BA和本题(Ⅰ)的结论.
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考研数学二
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