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  3. (1998年试题，四)确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量(x，y)=2xy(x4+y2)λi一x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

(1998年试题，四)确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量(x，y)=2xy(x4+y2)λi一x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．

admin2021-01-15  10
问题 (1998年试题，四)确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量(x，y)=2xy(x4+y2)λi一x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)．
选项
答案根据题意，设P(x，y)=2xy(x4+y2)λ，Q(x,y)=-x2(x4+y2)λ已知向量[*]是u(x，y)的梯度，则由梯度的定义知，[*]其中Py’=2x(x4+y2)λ+2xy.λ(x4+y2)λ－1.2y;Qx’=一2x(x4+y2)λ一x2.λ(x4+y2)λ－1.4x3于是2x(x4+y2)λ+4λxy2(x4+y2)λ－1=一2x(x4+y2)λ一4λx5(x4+y2)λ－1解得λ=一1，从而[*]在右半面平面取一点(1，0)作为积分起点，根据曲线积分与路径无关，有[*]806解析二先求出λ=一1，则被积表达式[*]故而得[*]解析三先求出λ=一1．由于[*]两边对变量y积分，得[*]由[*]，故C’（x）=0，即C（x）=C,所以，[*]
解析 如果通过下述凑微分，得到的结果只适用于y>0或y<0的区域，而在x>0的区域上含有y=0，故而这种解法是不正确的．
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