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  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2019-07-19  41
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M． 由积分中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使∫0xf’(x)dx=f’(η)x，即f(x)=f(x)－f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x1)x=Mx≤f(x)=f(x)－f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x， 两边在[0，1]上积分得 f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx， 即[*]f’(x1)≤∫01f(x)dx≤[*]f’(x2)，即f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f’(x2)． 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][*][0，1]，或ξ∈[x2，x1][*][0，1]，使 f’(ξ)=2∫0xf(x)dx．
解析
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考研数学一

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