设f(x)在[0，＋∞)上二阶可导，f(0)＝0，f’’(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

admin2022-06-09 70

问题设f(x)在[0，＋∞)上二阶可导，f(0)＝0，f’’(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

选项 A、af(x)＞xf(a)
B、bf(x)＞xf(b)
C、xf(x)＞bf(b)
D、xf(x)＞af(a)

答案B

解析令F(x)＝f(x)(x＞0)，则
F’(x)＝xf’(x)－f(x)/x²＝xf’(x)－[f(x)－f(0)]/x²
＝xf’(x)－xf’(ξ)/x²＝f’(x)－f’(ξ)/x
其中0＜ξ＜x＜b
由f’’(x)＜0，知f’(x)单调减少，故F’(x)＜0，从而F(x)单调减少，于是有f(x)/x＞f(b)/b，即bf(x)＞xf(b)，故B正确

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