设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f’’(x)<0,当0<a<x<b时,有( )

admin2022-06-09  24

问题 设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f’’(x)<0,当0<a<x<b时,有(          )

选项 A、af(x)>xf(a)
B、bf(x)>xf(b)
C、xf(x)>bf(b)
D、xf(x)>af(a)

答案B

解析 令F(x)=f(x)(x>0),则
F’(x)=xf’(x)-f(x)/x2=xf’(x)-[f(x)-f(0)]/x2
=xf’(x)-xf’(ξ)/x2=f’(x)-f’(ξ)/x
其中0<ξ<x<b
由f’’(x)<0,知f’(x)单调减少,故F’(x)<0,从而F(x)单调减少,于是有f(x)/x>f(b)/b,即bf(x)>xf(b),故B正确
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