设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是m×n矩阵,下列选项中正确的是( ).

admin2020-03-01  27

问题 设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是m×n矩阵,下列选项中正确的是(    ).

选项 A、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
B、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
C、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
D、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.

答案A

解析 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义说明A的正确性,做法如下:
    因为α1,α2,…,αs线性相关,所以存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
    c1α1+c2α2+…+csαs=0,
    用A左乘等式两边,得
    c11+c12+…+css=0,
    于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
    但是用秩来解此题,则更加简单透彻.只要应用两个基本性质,它们是:
    1.α1,α2,…,αs线性无关<=>r(α1,α2,…,αs)=s.
    2.r(AB)≤r(B).
    矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A(α1,α2,…,αs),因此
    r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤r(α1,α2,…,αs).
于是,若α1,α2,…,αs线性相关,有r(α1,α2,…,αs)<s,从而r(Aα1,Aα2,…,Aαs)<s,Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
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