2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

admin2020-03-01  43
问题 设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是(    )．
选项 A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
答案A
解析 本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明A的正确性，做法如下：
    因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得
    c1α1+c2α2+…+csαs=0，
    用A左乘等式两边，得
    c1Aα1+c1Aα2+…+csAαs=0，
    于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
    但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：
    1．α1，α2，…，αs线性无关<=>r(α1，α2，…，αs)=s．
    2．r(AB)≤r(B)．
    矩阵(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此
    r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．
于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
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考研数学二

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