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设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是m×n矩阵,下列选项中正确的是( ).
设α1,α2,…,αs都是n维向量,A是m×n矩阵,下列选项中正确的是( ).
admin
2020-03-01
50
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
都是n维向量,A是m×n矩阵,下列选项中正确的是( ).
选项
A、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
B、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关.
C、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
D、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关.
答案
A
解析
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义说明A的正确性,做法如下:
因为α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,所以存在不全为0的数c
1
,c
2
,…,c
s
使得
c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0,
用A左乘等式两边,得
c
1
Aα
1
+c
1
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0,
于是Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
但是用秩来解此题,则更加简单透彻.只要应用两个基本性质,它们是:
1.α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关<=>r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=s.
2.r(AB)≤r(B).
矩阵(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)=A(α
1
,α
2
,…,α
s
),因此
r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
).
于是,若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,有r(α
1
,α
2
,…,α
s
)<s,从而r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)<s,Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
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