设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B． (1)证明B可逆； (2)求AB—1．

admin2016-04-11 58

问题设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．
(1)证明B可逆；
(2)求AB^—1．

选项

答案(1)因｜A｜≠0，及｜B｜=一｜A｜≠0，故B可逆． (2)记E_ij是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得到的初等方阵，则B=E_ijA．因而 AB^—1=A(_ijA)^—1=AA^—1E_ij^—1=E_ij^—1=E_ij

解析本题(1)考查方阵可逆的条件及行列式的性质，属于基本题目(还可以利用“等价的矩阵有相同的秩”推出B亦为满秩方阵、即可逆方阵)．本题(2)考查能否灵活应用矩阵初等行变换与初等方阵的关系，将与A行等价的矩阵用矩阵乘积表示出来．

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