2. 考研
  3. 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B． (1)证明B可逆； (2)求AB—1．

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B． (1)证明B可逆； (2)求AB—1．

admin2016-04-11  71
问题 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．
    (1)证明B可逆；
    (2)求AB—1．
选项
答案(1)因｜A｜≠0，及｜B｜=一｜A｜≠0，故B可逆． (2)记Eij是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得到的初等方阵，则B=EijA． 因而 AB—1=A(ijA)—1=AA—1Eij—1=Eij—1=Eij
解析 本题(1)考查方阵可逆的条件及行列式的性质，属于基本题目(还可以利用“等价的矩阵有相同的秩”推出B亦为满秩方阵、即可逆方阵)．本题(2)考查能否灵活应用矩阵初等行变换与初等方阵的关系，将与A行等价的矩阵用矩阵乘积表示出来．
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考研数学一

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