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设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆; (2)求AB—1.
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆; (2)求AB—1.
admin
2016-04-11
74
问题
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆;
(2)求AB
—1
.
选项
答案
(1)因|A|≠0,及|B|=一|A|≠0,故B可逆. (2)记E
ij
是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得到的初等方阵,则B=E
ij
A. 因而 AB
—1
=A(
ij
A)
—1
=AA
—1
E
ij
—1
=E
ij
—1
=E
ij
解析
本题(1)考查方阵可逆的条件及行列式的性质,属于基本题目(还可以利用“等价的矩阵有相同的秩”推出B亦为满秩方阵、即可逆方阵).本题(2)考查能否灵活应用矩阵初等行变换与初等方阵的关系,将与A行等价的矩阵用矩阵乘积表示出来.
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考研数学一
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