2. 考研
  3. 设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=时XTAX的最大值．

设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=时XTAX的最大值．

admin2019-05-08  117
问题 设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=时XTAX的最大值．
选项
答案因为方程组有非零解，所以[*]=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由 ｜λE一A｜=[*]=(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0 得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f=XTAX[*]y12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32) 而当｜X｜=[*]时， y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=｜X｜=2 所以当｜X｜=[*]时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1=y1=0，y3=[*])．
解析
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考研数学三

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