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(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…； (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．
(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…； (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．
admin
2018-03-30
74
问题
(Ⅰ)求定积分a
n
=∫
0
2
x(2x—x
2
)
n
dx，n=1，2，…；
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的a
n
，求幂级数
a
n
x
n
的收敛半径及收敛区间．
选项
答案
(Ⅰ) a
n
=∫
0
2
x(2x一x)dx =∫
0
2
x[1一(1一x)
2
]
n
dx， 作积分变量代换，令1一x=t，于是 a
n
=∫
1
-1
(1一t)(1一t
2
)
n
(一dt) =∫
1
-1
(1一t
2
)
n
dt一∫
1
-1
t(1一t
2
)
n
dt =∫
1
-1
(1一t
2
)
n
dt=2∫
0
1
(1一t
2
)
n
dt． 下面用分部积分计算： a
n
=2∫
0
1
(1一t
2
)
n
dt=2∫
0
1
(1一t
2
)(1一t
2
)
n—1
dt =a
n—1
—2∫
0
1
t(1一t
2
)
n—1
tdt [*] 知收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MuX4777K
0
考研数学三
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