2. 考研
  3. (Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…； (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．

(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…； (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．

admin2018-03-30  96
问题 (Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…；
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．
选项
答案(Ⅰ) an=∫02x(2x一x)dx =∫02x[1一(1一x)2]ndx， 作积分变量代换，令1一x=t，于是 an=∫1-1(1一t)(1一t2)n(一dt) =∫1-1(1一t2)ndt一∫1-1t(1一t2)ndt =∫1-1(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)ndt． 下面用分部积分计算： an=2∫01(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)(1一t2)n—1dt =an—1—2∫01t(1一t2)n—1tdt [*] 知收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)．
解析
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考研数学三

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