(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…； (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．

admin2018-03-30 60

问题 (Ⅰ)求定积分a_n=∫₀²x(2x—x²)ⁿdx，n=1，2，…；
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的a_n，求幂级数

a_nxⁿ的收敛半径及收敛区间．

选项

答案(Ⅰ) a_n=∫₀²x(2x一x)dx =∫₀²x[1一(1一x)²]ⁿdx，作积分变量代换，令1一x=t，于是 a_n=∫₁^-1(1一t)(1一t²)ⁿ(一dt) =∫₁^-1(1一t²)ⁿdt一∫₁^-1t(1一t²)ⁿdt =∫₁^-1(1一t²)ⁿdt=2∫₀¹(1一t²)ⁿdt．下面用分部积分计算： a_n=2∫₀¹(1一t²)ⁿdt=2∫₀¹(1一t²)(1一t²)^n—1dt =a_n—1—2∫₀¹t(1一t²)^n—1tdt [*] 知收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)．

解析

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考研数学三

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