设z=z(χ,y)是由9χ2-54χy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,(Ⅰ)求z=z(χ,y)一阶偏导数与驻点;(Ⅱ)求z=z(χ,y)的极值点和极值.

admin2016-07-20  38

问题 设z=z(χ,y)是由9χ2-54χy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,(Ⅰ)求z=z(χ,y)一阶偏导数与驻点;(Ⅱ)求z=z(χ,y)的极值点和极值.

选项

答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18χdχ-54(ydχ+χdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0, 即(18χ-54y)dχ+(180y-54χ-6z)dy-(6y+2z)dz=0. 从而[*] 为求隐函数z=z(χ,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简为χ=3y,由③可得z=30y-9χ=3y,代入①可解得两个驻点χ=3,y=1,z=3与χ=-3,y=-1,z=-3. (Ⅱ)z=z(χ,y)的极值点必是它的驻点.为判定z=z(χ,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(χ,y)在这两点的二阶偏导数. 注意,在驻点P=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3)处,[*]=0 由(3y+z)[*]=9χ-27y[*]在驻点P,Q处 [*] 再由(3y+z)[*]=90y-27χ-3z[*]在驻点P,Q处 (3y+z)[*]=90,于是可得出在P点处 [*] 因AC=B=[*]>0,且A=[*]>0,故在点(3,1)处z=z(χ,y)取得极小值χ(3, 1)=3. 在Q点处 [*] 因AC-B2=[*]>0,且A=-[*]<0,故在点(-3,-1)处z=z(χ,y)取得极大值z(-3,-1)=-3.

解析
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