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考研
设A为n阶方阵,证明:R(An)=R(An+1)。
设A为n阶方阵,证明:R(An)=R(An+1)。
admin
2019-03-23
61
问题
设A为n阶方阵,证明:R(A
n
)=R(A
n+1
)。
选项
答案
本题可转化为方程组A
n
x=0与A
n+1
x=0同解的证明。 若A
n
x=0,则A
n+1
x=0,因此A
n
x=0的解必为A
n+1
x=0的解。 反之,当A
n+1
x=0时,如果A
n
x≠0,设k
0
,k
1
,…,k
n
使k
0
x+k
1
Ax+…+k
n
A
n
x=0,依次用A
n
,A
n—1
,…,A乘该式,即得k
0
=k
1
=…=k
n
=0,故这n+1个向量线性无关,这显然与n+1个n维向量必线性相关矛盾,所以A
n
x=0,于是可知A
n
x=0与A
n+1
x=0同解,故R(A
n
)=R(A
n+1
)。
解析
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考研数学二
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