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  3. 设A为n阶方阵，证明：R(An)=R(An+1)。

设A为n阶方阵，证明：R(An)=R(An+1)。

admin2019-03-23  56
问题 设A为n阶方阵，证明：R(An)=R(An+1)。
选项
答案本题可转化为方程组Anx=0与An+1x=0同解的证明。 若Anx=0，则An+1x=0，因此Anx=0的解必为An+1x=0的解。 反之，当An+1x=0时，如果Anx≠0，设k0，k1，…，kn使k0x+k1Ax+…+knAnx=0，依次用An，An—1，…，A乘该式，即得k0=k1=…=kn=0，故这n+1个向量线性无关，这显然与n+1个n维向量必线性相关矛盾，所以Anx=0，于是可知Anx=0与An+1x=0同解，故R(An)=R(An+1)。
解析
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考研数学二

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