设f(x)=arctan x，则f(n)(0)= ．

admin2021-10-08 49

问题设f(x)=arctan x，则f⁽ⁿ⁾(0)= ．

选项

答案[*]

解析【思路探索】若由fˊ(x)=1/(1+x²)继续直接求导，将很难归纳出f⁽ⁿ⁾(x)的形式．但将此式变形为(1+x²)·fˊ(x)=1，然后方程两边同时求(n-1)阶导数，左端是乘积的导数，而当n＞2时，(1+x²)为零，故可用牛顿—莱布尼茨公式得到一个导数方程，最后利用递推关系可得结果．
由fˊ(x)=1/(1+x²)，得(1+x²)fˊ(x)=1，两边求(n-1)阶导数[(1+x²)·fˊ(x)]^(n-1)=0，
即