2. 考研
  3. 设f(x)在[a.b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)任取ki＞0（i=1,2,…,n),证明：存在ξ∈[a,b]，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…kn)f(ξ).

设f(x)在[a.b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)任取ki＞0（i=1,2,…,n),证明：存在ξ∈[a,b]，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…kn)f(ξ).

admin2021-11-25  41
问题 设f(x)在[a.b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)任取ki＞0（i=1,2,…,n),证明：存在ξ∈[a,b]，使得
k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…kn)f(ξ).
选项
答案因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M， 显然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,..,n) 注意到ki＞0（i=1,2,…,n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,..,n) 同向不等式相加，得 （k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+....+knf(xn)≤(k1+k2+...+kn)M, 即m≤[*]≤M 由介值定理，存在ξ∈[a,b]，使得[*] 即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…kn)f(ξ).
解析
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考研数学二

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