下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) ①如果α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0； ②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的数k1，k2，…，kn

admin2020-03-01 32

问题下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )
①如果α₁，α₂，…，α_n线性相关，则存在全不为零的数k₁，k₂，…，k_n，使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0；
②如果α₁，α₂，…，α_n线性无关，则对任意不全为零的数k₁，k₂，…，k_n，都有k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n≠0；
③如果α₁，α₂，…，α_n线性无关，则由k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0可以推出k₁=k₂=…=k_n=0；
④如果α₁，α₂，…，α_n线性相关，则对任意不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n，都有k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0。

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案B

解析对于①，线性相关的定义是存在不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n，使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0。不全为零与全不为零不等价，故①错。
②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。
对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n的存在性，并不一定要对任意不全为零的k₁，k₂，…，k_n都满足k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0，故④错误。事实上，当且α₁，α₂，…，α_n全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n都有k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0。
综上所述，正确的只有两个。故选B。

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考研数学二

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