2. 考研
  3. 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

admin2021-11-09  65
问题 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案方法1：由于行列式｜α1，α2，α3｜=a+1，故当a≠-1时，秩[α1，α2，α3]=3．方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)有解(且有唯一解)，所以向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示；又由行列式｜β1，β2，β3｜=6≠0，同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．故当a≠-1时．(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．当a=1时，由于秩[α1，α2，α3]≠秩[α1，α2，α3┆β1]，故方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，即β1不能由向量组(Ⅰ)线性表示，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价． 方法2：若(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，而秩(Ⅱ)=3，故秩(Ⅰ)=3，[*]｜α1，α2，α3｜=a+1≠0，[*]a≠-1；反之，若a≠-1，则(Ⅰ)和(Ⅱ)都是线性无关组，而α1，α2，α3，βi线性相关(4个3维向量必线性相关)，[*]βi可由α1，α2，α3线性表示(i=1，2，3)，同理知αj可由β1，β2，β3线性表示(j=1，2，3)，故(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．综上可知，(Ⅰ)与(Ⅱ)等价[*]a≠-1．
解析
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考研数学二

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