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函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
admin
2019-08-01
43
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式
。
(1)求导数f(x);
(2)证明:当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立.
选项
答案
[详解1](1)根据题设,有 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫
0
x
f(x)dt=0, 上式两边对x求导,得 (x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x), 即[*]。 两边积分,得 lnf’(x)=-x+ln(x+1)+lnC, 即有[*]。 在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0,又f(0)=1,于是f’(0)=-1,代入f’(x)的 表达式,得C=-1,故有[*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以 f(x)≤f(0)=1. 设ψ(x)=f(x)-e
-x
,则ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e
x
=[*]。 当x≥0时,ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加,因而ψ(x)≥ψ(0)=0,即有 f(x)≥e
-x
. 综上所述,当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1. [详解2](1)解法同详解1. (2)由于f(x)=f(0)+∫
0
x
f’(t)dt=[*],由于当t≥0时,[*],于是由定积分的性质得 [*], 因此,当x≥0时,有e
-x
≤f(x)≤1.
解析
[分析] 含有变限的定积分问题,一般都是先求导,引出一微分方程.本题若直接求导不能消去积分,因此应先乘以x+1,再求导.(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果,引进适当的辅助函数后,用单调性即可完成证明.
[评注1]将方程
化为(1+x)f’(x)+(1+x)f(x)-∫
0
x
f(t)dt=0的目的是通过求导能消去变限积分∫
0
x
f(t)dt,应注意掌握这种技巧.
[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质,但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式,则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系,即有f(x)=f(a)+∫
a
x
f’(t)dx.
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考研数学二
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