首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
admin
2019-08-01
44
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式
。
(1)求导数f(x);
(2)证明:当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立.
选项
答案
[详解1](1)根据题设,有 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫
0
x
f(x)dt=0, 上式两边对x求导,得 (x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x), 即[*]。 两边积分,得 lnf’(x)=-x+ln(x+1)+lnC, 即有[*]。 在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0,又f(0)=1,于是f’(0)=-1,代入f’(x)的 表达式,得C=-1,故有[*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以 f(x)≤f(0)=1. 设ψ(x)=f(x)-e
-x
,则ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e
x
=[*]。 当x≥0时,ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加,因而ψ(x)≥ψ(0)=0,即有 f(x)≥e
-x
. 综上所述,当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1. [详解2](1)解法同详解1. (2)由于f(x)=f(0)+∫
0
x
f’(t)dt=[*],由于当t≥0时,[*],于是由定积分的性质得 [*], 因此,当x≥0时,有e
-x
≤f(x)≤1.
解析
[分析] 含有变限的定积分问题,一般都是先求导,引出一微分方程.本题若直接求导不能消去积分,因此应先乘以x+1,再求导.(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果,引进适当的辅助函数后,用单调性即可完成证明.
[评注1]将方程
化为(1+x)f’(x)+(1+x)f(x)-∫
0
x
f(t)dt=0的目的是通过求导能消去变限积分∫
0
x
f(t)dt,应注意掌握这种技巧.
[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质,但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式,则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系,即有f(x)=f(a)+∫
a
x
f’(t)dx.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7PN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f’’’(ξ)=3.
已知二元函数f(x,y)满足且f(x,y)=g(u,v),若=u2+v2,求a,b.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得
设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1,它们与直线x=1所围成的图形面积为S2,且a<1.(1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值;(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
设φ1(x),φ2(x),φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为().
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内f(x)>0且xf’(z)=f(x)+ax2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成平面图形的面积为2,求函数y=f(x),问a为何值,此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?
求下列不定积分:(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx;(Ⅱ)∫x2sin2xdx;(Ⅲ)
一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为时(如图1一3—4),计算油的质量。(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m3。)
(2007年试题,一)设函数f(x,y)连续,则二次积分等于().
随机试题
一国发生通货膨胀时,银行创造条件把活期存款货币转化为定期存款货币的目的是()。
词是诗歌的一种,最初是配合音乐来歌唱的;因其句子长短不一,也称“________”。
放射性131I治疗甲亢,应至少观察多长时间才能确定是否进行第二次治疗
甲房地产开发公司(以下简称甲公司)开发了一个住宅小区。为促进住宅销售,甲公司制作了功能楼书和形象楼书,并租用路边广告牌进行宣传。李某希望购买一套距离上班地点较近的商品住房,由于该住宅小区四周交通便利,李某与甲公司签订了《房地产认购协议书》,拟购买一套建筑面
最终结算是指(),对承包商完成全部工作价值的详细结算,以及根据合同条件对应付给承包商的其他费用进行核实,确定合同的最终价格。
对于设备的有形和无形磨损,下列说法错误的是()。
班主任在班级管理中的领导影响力主要表现在()。
Theschoolhasmadeitarulethatnostudentshalltakeanillegalvehicle_____________aschoolbus.
根据以下资料,回答下列问题。2017年4月,B市实现外贸进出口总额2532.10亿元,比去年同月增长17.8%。其中,出口989.98亿元.增长7.6%;进口1542.12亿元,增长25.4%。1--4月,本市累计实现外贸进出口总额10043.66亿元,
在试误学习的过程中,学习者对刺激情境作出特定的反应之后能够获得满意的结果时,联结力量就会增加,这符合的学习规律是
最新回复
(
0
)