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  3. 函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式 。 (1)求导数f(x)； (2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．

函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式 。 (1)求导数f(x)； (2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．

admin2019-08-01  29
问题 函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式
。
    (1)求导数f(x)；
    (2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．
选项
答案[详解1](1)根据题设，有 (x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt＝0， 上式两边对x求导，得 (x＋1)f"(x)＝－(x＋2)f’(x)， 即[*]。 两边积分，得 lnf’(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC， 即有[*]。 在题设等式中令x＝0，得f’(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f’(0)＝－1，代入f’(x)的 表达式，得C＝－1，故有[*] (2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以 f(x)≤f(0)＝1． 设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ’(x)＝f’(x)＋ex＝[*]。 当x≥0时，ψ’(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有 f(x)≥e－x． 综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1． [详解2](1)解法同详解1． (2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf’(t)dt＝[*]，由于当t≥0时，[*]，于是由定积分的性质得 [*]， 因此，当x≥0时，有e－x≤f(x)≤1．
解析 [分析]  含有变限的定积分问题，一般都是先求导，引出一微分方程．本题若直接求导不能消去积分，因此应先乘以x＋1，再求导．(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果，引进适当的辅助函数后，用单调性即可完成证明．
[评注1]将方程化为(1＋x)f’(x)＋(1＋x)f(x)－∫0xf(t)dt＝0的目的是通过求导能消去变限积分∫0xf(t)dt，应注意掌握这种技巧．
[评注2]  如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质，但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式，则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系，即有f(x)＝f(a)＋∫axf’(t)dx．
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考研数学二

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