首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
admin
2019-08-01
47
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式
。
(1)求导数f(x);
(2)证明:当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立.
选项
答案
[详解1](1)根据题设,有 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫
0
x
f(x)dt=0, 上式两边对x求导,得 (x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x), 即[*]。 两边积分,得 lnf’(x)=-x+ln(x+1)+lnC, 即有[*]。 在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0,又f(0)=1,于是f’(0)=-1,代入f’(x)的 表达式,得C=-1,故有[*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以 f(x)≤f(0)=1. 设ψ(x)=f(x)-e
-x
,则ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e
x
=[*]。 当x≥0时,ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加,因而ψ(x)≥ψ(0)=0,即有 f(x)≥e
-x
. 综上所述,当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1. [详解2](1)解法同详解1. (2)由于f(x)=f(0)+∫
0
x
f’(t)dt=[*],由于当t≥0时,[*],于是由定积分的性质得 [*], 因此,当x≥0时,有e
-x
≤f(x)≤1.
解析
[分析] 含有变限的定积分问题,一般都是先求导,引出一微分方程.本题若直接求导不能消去积分,因此应先乘以x+1,再求导.(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果,引进适当的辅助函数后,用单调性即可完成证明.
[评注1]将方程
化为(1+x)f’(x)+(1+x)f(x)-∫
0
x
f(t)dt=0的目的是通过求导能消去变限积分∫
0
x
f(t)dt,应注意掌握这种技巧.
[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质,但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式,则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系,即有f(x)=f(a)+∫
a
x
f’(t)dx.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7PN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设0<a<b,证明:
求曲线y=3-|x2-1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积.
一质点从时间t=0开始直线运动,移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和术速度都为零.证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于4.
设φ1(x),φ2(x),φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为().
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数的图形如右图,则f(x)有().
设f(x)是连续函数.(1)求初值问题的解,其中a>0;(2)若|f(x)|≤k,证明:当x≥0时,有|y(x)|≤(eax-1).
设函数z=f(u),方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定甜为x,y的函数,其中f(u),φ(u)可微,P(t),φ’(u)连续,且φ’(u)≠1,求
设f(x)在[0,b]可导,f’(x)>0(∈(0,b)),t∈[0,b],问t取何值时,图4.10中阴影部分的面积最大?最小?
(1997年试题,一)已知在x=0处连续,则a=_________.
(2002年试题,九)设0
随机试题
集体合同的时间效力的表现形式有()
下列关于NHL的病理类型中,哪些属于中度恶性?
(2007年第75题)下列属于退行性变的疾病是
下列行为中,属于无效民事行为的有()。
人们常说“教学有法,教无定法”,此话反映了教师劳动的()。(2014·河南)
Wherearetheynow?
Electronicmailhasbecomeanextremelyimportantandpopularmeansofcommunication.Theconvenienceandefficiencyofelec
JudgingbythewildlycheeringaudienceattheorgyofconsumerismthatwasOprahWinfrey’s"UltimateFavouriteThings"show,A
A、Theykeepallthepropertyoftheorganization.B、Theyareresponsibleformostofthebusinessdebts.C、Theytakemorerespon
Postgraduatedilemmas[A]Decidingwhetherornottobecomeapostgraduatecanbeadaunting(令人畏缩的)prospect.Evenifyouaresure
最新回复
(
0
)