2. 考研
  3. (96年)设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0．f’(a).f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，n)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

(96年)设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0．f’(a).f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，n)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

admin2021-01-19  57
问题 (96年)设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0．f’(a).f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，n)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．
选项
答案先用反证法证明：[*]∈(a，b)，使f(ξ)=0．否则由f(x)的连续性可知，在区间(a，b)内恒有f(x)＞0或f(x)＜0．不妨设f(x)＞0，则 [*] 从而f’(a)f’(b)≤0．这与已知条件矛盾，则在(a,b)内至少存在ξ，使f(ξ)=0。 再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知．存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ,b)使 f’(η1)=f’(η2)=0 又在[η1，η2]上对f’(x)应用罗尔定理知，存在η∈(η1，η2)，使f”(η)=0
解析
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考研数学二

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