2. 考研
  3. 设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f’(x)≠0． (I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示； (Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，在此曲线

设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f’(x)≠0． (I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示； (Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，在此曲线

admin2019-06-29  49
问题 设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f’(x)≠0．
(I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示；
(Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，在此曲线上任意点处的f’(x)≠0．
选项
答案(I)由反函数的导数公式，有 [*] (Ⅱ)将(I)中求得的[*]代入所给微分方程(*)中，得 [*] 将(**)式中z看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常方法解之，得 x＝C1ey﹢C2e－3y﹢[*] 再由条件：x＝1时y＝0，[*]，代入上式得 [*]
解析
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考研数学二

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