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设函数y=f(x)存在二阶导数,且f’(x)≠0. (I)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示; (Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为,在此曲线
设函数y=f(x)存在二阶导数,且f’(x)≠0. (I)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示; (Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为,在此曲线
admin
2019-06-29
57
问题
设函数y=f(x)存在二阶导数,且f
’
(x)≠0.
(I)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
;
(Ⅱ)求满足微分方程
的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为
,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为
,在此曲线上任意点处的f
’
(x)≠0.
选项
答案
(I)由反函数的导数公式,有 [*] (Ⅱ)将(I)中求得的[*]代入所给微分方程(*)中,得 [*] 将(**)式中z看成函数,y看成自变量,(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程.按通常方法解之,得 x=C
1
e
y
﹢C
2
e
-3y
﹢[*] 再由条件:x=1时y=0,[*],代入上式得 [*]
解析
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考研数学二
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