首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
admin
2019-05-10
56
问题
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
选项
答案
y(x)在两个区间(一π,0)与[0,π]上满足的条件不同,先分别求出y(x)在这两区间上满足的微分方程及其通解,再由y(x)在x=0处的连续性、可导性求出待定常数. (1)对(-π,0)上的曲线求出特解,先求出曲线的方程.由于曲线上任一点处的法线都过原点,曲线的法线为y=-x/y′,即ydy=一xdx,积分得曲线方程 y
2
=一x
2
+C. ① 又利用初始条件y(一π/√2)一π/√2求其特解.将其代入方程①得C=π
2
,从而有x
2
+y
2
=π
2
, 故y=[*](该分支由过点(一π/√2,π/√2)所确定). (2)再求区间(0,π)内曲线的分支,为此求出y"+y+x=0的特解.易知y"+y=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinax. 设 y"+y+x=0 ② 的特解为y
*
=ax+b,将其代入式②得到a=一1,b=0,故y
*
=-x,所以方程②的通解为 y=Y+y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx一x. ③ (3)利用y(x)的光滑性,求出式③中的任意常数. 下面求③中的任意常数,由于y=y(x)在(一π,π)内光滑,故y在x=0处连续、可导.由其连续性有y
-
(0)=y
+
(0),故C
1
=π.又由可导性得y′
-
(0)=y′
+
(0),而y′
-
(0)=([*])′∣
x=0
=0,y′
+
(0)=(一C
1
sinx+C
2
cosx-1)∣
x=0
=C
2
—1, 故C
2
一1=0,即C
2
=1,于是y=y(x)的表达式为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7VV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设连续函数f(χ)满足∫0χtf(χ-t)dt-1-cosχ,求f(χ)dχ.
设α1,α2,…,αs为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αs线性无关.
设α1,…,αm,β为m+1个n维向量,β=α1+…+αm(m>1).证明:若α1,…,αm线性无关,则β-α1,…,β-αm线性无关.
若α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,则().
求函数f(χ,y)=4χ-4y-χ2-y2在区域D:χ2+y2≤18上最大值和最小值.
微分方程2y〞=3y2满足初始条件y(-2)-1,y′(-2)=1的特解为_______.
设函数y=y(χ)满足微分方程y〞-3y′+2y=2eχ,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=χ2-χ+1在该点的切线重合,求函数y=y(χ).
设曲线y=lnχ与y=k相切,则公共切线为_______.
设f(u)具有连续的一阶导数,且当x>0,y>0时,,求z的表达式.
随机试题
下列不构成专利权终止的法律事实是()
口底及颌下的急性蜂窝织炎危及生命的并发症是【】
十二指肠切除,可影响下述哪些营养素的吸收()。
设计利用穿堂风进行自然通风的板式建筑。其迎风面与夏季最多风向的夹角宜为()。
分析评价开发区规划实施对生态环境的影响,主要包括()影响。
2019年12月11日晚8时15分许,某建筑高度达50m的大型商场,因发电机组电气线路短路形成高温电弧,引燃周围装饰材料并蔓延成火灾。在事故发生的第一时间,法人代表李某(该商场的消防安全责任人)立即启动应急预案,同时组织单位的义务消防队扑救火灾。与此同时,
企业发行的可转换公司债券,期末按规定计算确定的利息费用进行账务处理时,可能借记的会计科目有()。
党章规定:我国社会各方面的基层单位只要有党员三人以上的,都要成立党的基层组织。()
根据下面材料回答下列题。2007年7月份北京市下列各区县中城镇居民最低生活保障人数最少的是()。
尽管这名病人被诊断为植物状态,但她保留了理解口头______并通过大脑活动、而非语音或动作做出______的能力。“欧文表示:”她决定与我们合作,根据我们的______想象特定的任务,这是一个清楚的______行为,确凿无疑地证明,她有意识地认识自己
最新回复
(
0
)