首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
admin
2019-05-10
30
问题
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
选项
答案
y(x)在两个区间(一π,0)与[0,π]上满足的条件不同,先分别求出y(x)在这两区间上满足的微分方程及其通解,再由y(x)在x=0处的连续性、可导性求出待定常数. (1)对(-π,0)上的曲线求出特解,先求出曲线的方程.由于曲线上任一点处的法线都过原点,曲线的法线为y=-x/y′,即ydy=一xdx,积分得曲线方程 y
2
=一x
2
+C. ① 又利用初始条件y(一π/√2)一π/√2求其特解.将其代入方程①得C=π
2
,从而有x
2
+y
2
=π
2
, 故y=[*](该分支由过点(一π/√2,π/√2)所确定). (2)再求区间(0,π)内曲线的分支,为此求出y"+y+x=0的特解.易知y"+y=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinax. 设 y"+y+x=0 ② 的特解为y
*
=ax+b,将其代入式②得到a=一1,b=0,故y
*
=-x,所以方程②的通解为 y=Y+y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx一x. ③ (3)利用y(x)的光滑性,求出式③中的任意常数. 下面求③中的任意常数,由于y=y(x)在(一π,π)内光滑,故y在x=0处连续、可导.由其连续性有y
-
(0)=y
+
(0),故C
1
=π.又由可导性得y′
-
(0)=y′
+
(0),而y′
-
(0)=([*])′∣
x=0
=0,y′
+
(0)=(一C
1
sinx+C
2
cosx-1)∣
x=0
=C
2
—1, 故C
2
一1=0,即C
2
=1,于是y=y(x)的表达式为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7VV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(χ)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),证明:存在ξ∈(a,b),使得=ξf′(ξ).
n阶矩阵A满足A2-2A-3E=O,证明A能相似对用化.
设α1,…,αm,β为m+1个n维向量,β=α1+…+αm(m>1).证明:若α1,…,αm线性无关,则β-α1,…,β-αm线性无关.
四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1,α2,α3且r(A)=3,设α1+α2=α2+α3=,求方程组Ax一6的通解.
求函数f(χ,y)=4χ-4y-χ2-y2在区域D:χ2+y2≤18上最大值和最小值.
设φ1(χ),φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(χ)y=Q(χ)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为().
设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导,且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小.
(08年)设函数y=y(x)由参数方程确定,其中x(t)是初值问题的解,求
随机试题
机械制造中常用图来表示零件的外观、________结构和工作原理。
下面通信方式_______不属于微波远距离通信。
关于FIDIC《永久设备和设计一建造合同条件》内容的说法,正确的是()。
用于议付信用证项下结算的汇票可以是()。
负债资本的筹集主要有()。
根据合伙企业法律制度的规定,下列关于有限合伙企业设立的表述中,正确的有()。
国民生产总值
[*]
有以下程序:#include<stdio.h>intf(intx);main(){intn=1,m; m=f(f(f(n)));printf("%d\n",m);}intf(intx){returnx*2;}程序运
ERUDITION:
最新回复
(
0
)