2. 考研
  3. [2009年] 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点(－π／√2，π／√2)的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y＂+y+x=0，求函数y(x)的表达式．

[2009年] 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点(－π／√2，π／√2)的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y＂+y+x=0，求函数y(x)的表达式．

admin2019-05-10  45
问题  [2009年]  设y=y(x)是区间(一π，π)内过点(－π／√2，π／√2)的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y＂+y+x=0，求函数y(x)的表达式．
选项
答案y(x)在两个区间(一π，0)与[0，π]上满足的条件不同，先分别求出y(x)在这两区间上满足的微分方程及其通解，再由y(x)在x=0处的连续性、可导性求出待定常数． (1)对(－π，0)上的曲线求出特解，先求出曲线的方程．由于曲线上任一点处的法线都过原点，曲线的法线为y=－x／y′，即ydy=一xdx，积分得曲线方程 y2=一x2+C． ① 又利用初始条件y(一π／√2)一π／√2求其特解．将其代入方程①得C=π2，从而有x2+y2=π2， 故y=[*](该分支由过点(一π／√2，π／√2)所确定)． (2)再求区间(0，π)内曲线的分支，为此求出y＂+y+x=0的特解．易知y＂+y=0的通解为 y=C1cosx+C2sinax． 设 y＂+y+x=0 ② 的特解为y*=ax+b，将其代入式②得到a=一1，b=0，故y*=－x，所以方程②的通解为 y=Y+y*=C1cosx+C2sinx一x． ③ (3)利用y(x)的光滑性，求出式③中的任意常数． 下面求③中的任意常数，由于y=y(x)在(一π，π)内光滑，故y在x=0处连续、可导．由其连续性有y-(0)=y+(0)，故C1=π．又由可导性得y′-(0)=y′+(0)，而y′-(0)=([*])′∣x=0=0，y′+(0)=(一C1sinx+C2cosx－1)∣x=0=C2—1， 故C2一1=0，即C2=1，于是y=y(x)的表达式为 [*]
解析
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考研数学二

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