已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且Aα1=3α1+3α2-2α3,Aα2=-α2,Aα3=8α1+6α2-5α3. (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B; (Ⅱ)求A的特征值和特征向量; (Ⅲ)求秩r(A+E).

admin2015-05-07  48

问题 已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且Aα1=3α1+3α2-2α3,Aα2=-α2,Aα3=8α1+6α2-5α3
    (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B;
    (Ⅱ)求A的特征值和特征向量;
    (Ⅲ)求秩r(A+E).

选项

答案(Ⅰ)由于A(α1,α2,α3)=(3α1+3α2-2α3,-α2,8α1+6α2-5α3)=(α1,α2,α3)[*] 令P=(α1,α2,α3),因α1,α2,α3线性无关,故P可逆. [*],则有P-1AP=B,即A与B相似. (Ⅱ)[*] 可知矩阵B的特征值为-1,-1,-1,故矩阵A的特征值为-1,-1,-1. 对于矩阵B,由 -E-B=[*],得特征向量(0,1,0)T,(-2,0,1)T, 那么由Bα=λα即(P-1AP)α=λα,得A(Pα)=A(Pα).所以 [*]=(α1,α2,α3)[*]=α2,[*]=(α1,α2,α3)[*]=-2α13是A的特征向量,于是A属于特征值-1的所有特征向量是 k1α2+k2(-2α13),其中k1,k2不全为0. (Ⅲ)由A~B有A+E~B+E,故r(A+E)=r(B+E)=1.

解析
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