2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2－2α3，Aα2=－α2，Aα3=8α1+6α2－5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2－2α3，Aα2=－α2，Aα3=8α1+6α2－5α3． (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B； (Ⅱ)求A的特征值和特征向量； (Ⅲ)求秩r(A+E)．

admin2015-05-07  43
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2－2α3，Aα2=－α2，Aα3=8α1+6α2－5α3．
    (Ⅰ)写出与A相似的矩阵B；
    (Ⅱ)求A的特征值和特征向量；
    (Ⅲ)求秩r(A+E)．
选项
答案(Ⅰ)由于A(α1，α2，α3)=(3α1+3α2－2α3，－α2，8α1+6α2－5α3)=(α1，α2，α3)[*] 令P=(α1，α2，α3)，因α1，α2，α3线性无关，故P可逆． [*]，则有P－1AP=B，即A与B相似． (Ⅱ)[*] 可知矩阵B的特征值为－1，－1，－1，故矩阵A的特征值为－1，－1，－1． 对于矩阵B，由 －E－B=[*]，得特征向量(0，1，0)T，(－2，0，1)T， 那么由Bα=λα即(P－1AP)α=λα，得A(Pα)=A(Pα)．所以 [*]=(α1，α2，α3)[*]=α2，[*]=(α1，α2，α3)[*]=－2α1+α3是A的特征向量，于是A属于特征值－1的所有特征向量是 k1α2+k2(－2α1+α3)，其中k1，k2不全为0． (Ⅲ)由A～B有A+E～B+E，故r(A+E)=r(B+E)=1．
解析
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考研数学一

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