2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3． 当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求出所有的ξ．

设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3． 当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求出所有的ξ．

admin2021-02-25  59
问题 设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3．
当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求出所有的ξ．
选项
答案设[*]，则P为从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵．又设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为x=(x1，x2，x3)T，则ξ在基β1，β2，β3下的坐标为P-1x．由已知有x=P-1x，从而px=x．即(P-E)x=0． 又由于ξ≠0，所以其坐标向量x≠0，即齐次线性方程组(P-E)x=0应有非零解，于是[*]，因此当k=0时，齐次线性方程组的非零解为[*]，其中c为任意常数．从而ξ=-cα1+0α2+cα3，c为任意常数．
解析
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考研数学二

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