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  3. 设函数f(x)为连续函数，证明： ∫02πf(sin2x)dx=4∫0π/2f(sin2)dx．

设函数f(x)为连续函数，证明： ∫02πf(sin2x)dx=4∫0π/2f(sin2)dx．

admin2022-06-04  5
问题 设函数f(x)为连续函数，证明：
∫02πf(sin2x)dx=4∫0π/2f(sin2)dx．
选项
答案因为f(sin2x)既是以2π又是以π为周期的函数，故由定积分的周期性质，有 ∫02πf(sin2x)dx=∫-ππf(sin2x)dx，∫0πf(sin2x)dx=∫-π/2π/2f(sin2x)dx 再由定积分的奇偶性质，得 ∫02πf(sin2x)dx=∫-ππf(sin2x)dx=2∫0πf(sin2x)dx=2∫-π/2π/2f(sin2x)dx =4∫0π/2f(sin2x)dx
解析
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考研数学一

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