设函数f(x)为连续函数，证明： ∫02πf(sin2x)dx=4∫0π/2f(sin2)dx．

admin2022-06-04 0

问题设函数f(x)为连续函数，证明：
∫₀^2πf(sin²x)dx=4∫₀^π/2f(sin²)dx．

选项

答案因为f(sin²x)既是以2π又是以π为周期的函数，故由定积分的周期性质，有 ∫₀^2πf(sin²x)dx=∫_-π^πf(sin²x)dx，∫₀^πf(sin²x)dx=∫_-π/2^π/2f(sin²x)dx 再由定积分的奇偶性质，得 ∫₀^2πf(sin²x)dx=∫_-π^πf(sin²x)dx=2∫₀^πf(sin²x)dx=2∫_-π/2^π/2f(sin²x)dx =4∫₀^π/2f(sin²x)dx

解析

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