设向量组a1，a2，…，am线性相关，且a1≠0，证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1，a2，…，ak-1线性表示。

admin2021-11-09 30

问题设向量组a₁，a₂，…，a_m线性相关，且a₁≠0，证明存在某个向量a_k(2≤k≤m)，使a_k能由a₁，a₂，…，a_k-1线性表示。

选项

答案因为向量组α₁,α₂，…，α_m线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m，使 λ₁a₁，λ₂a₂，…，λ_ma_m=0。因λ₁，λ₂，…，λ_m不全为零，所以必存在k，使得λ_k≠0，且λ_k+1=…=λ_m=0。当k=1时，代入上式有λ₁a₁=0.又因为a₁≠0，所以λ₁=0，与假设矛盾，故k≠1。当λ_k≠0且k≥2时，有 [*] 因此向量a_k能由a₁，a₂，…，a_k-1线性表示。

解析

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