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设向量组a1,a2,…,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示。
设向量组a1,a2,…,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示。
admin
2021-11-09
63
问题
设向量组a
1
,a
2
,…,a
m
线性相关,且a
1
≠0,证明存在某个向量a
k
(2≤k≤m),使a
k
能由a
1
,a
2
,…,a
k-1
线性表示。
选项
答案
因为向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性相关,由定义知,存在不全为零的数λ
1
,λ
2
,…,λ
m
,使 λ
1
a
1
,λ
2
a
2
,…,λ
m
a
m
=0。 因λ
1
,λ
2
,…,λ
m
不全为零,所以必存在k,使得λ
k
≠0,且λ
k+1
=…=λ
m
=0。 当k=1时,代入上式有λ
1
a
1
=0.又因为a
1
≠0,所以λ
1
=0,与假设矛盾,故k≠1。 当λ
k
≠0且k≥2时,有 [*] 因此向量a
k
能由a
1
,a
2
,…,a
k-1
线性表示。
解析
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考研数学二
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