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已知f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导,且f(1)f(3)>0,f(1)f(2)<0,证明至少存在一点ξ∈(1,3),使得f′(ξ)一f(ξ)=0.
已知f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导,且f(1)f(3)>0,f(1)f(2)<0,证明至少存在一点ξ∈(1,3),使得f′(ξ)一f(ξ)=0.
admin
2021-01-30
73
问题
已知f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导,且f(1)f(3)>0,f(1)f(2)<0,证明至少存在一点ξ∈(1,3),使得f′(ξ)一f(ξ)=0.
选项
答案
由题设可知,f(1)与f(2)异号,f(2)与f(3)异号,因此由连续函数的零点定理可知,至少存在两点ξ
1
∈(1,2),ξ
2
∈(2,3),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.构造辅助函数 F(x)=e
-x
f(x), 则F(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,在(ξ
1
,ξ
2
)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0,因此由罗尔定理可知,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
12
)[*](1,3),使得F′(ξ)=0.又因为 F′(x)=e
-x
f′(x)一e
-x
f(x)=e
-x
[f′(x)一f(x)], 因此有e
-ξ
[f′(ξ)一f(ξ)]=0,即f′(ξ)一f(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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