2. 考研
  3. 已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(3)＞0，f(1)f(2)＜0，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f′(ξ)一f(ξ)=0．

已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(3)＞0，f(1)f(2)＜0，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f′(ξ)一f(ξ)=0．

admin2021-01-30  59
问题 已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(3)＞0，f(1)f(2)＜0，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f′(ξ)一f(ξ)=0．
选项
答案由题设可知，f(1)与f(2)异号，f(2)与f(3)异号，因此由连续函数的零点定理可知，至少存在两点ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．构造辅助函数 F(x)=e-xf(x)， 则F(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ12)[*](1，3)，使得F′(ξ)=0．又因为 F′(x)=e-xf′(x)一e-xf(x)=e-x[f′(x)一f(x)]， 因此有e-ξ[f′(ξ)一f(ξ)]=0，即f′(ξ)一f(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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