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设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0， 求r()．
设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0， 求r()．
admin
2020-03-05
47
问题
设空间中有三个平面
a
1
x+b
1
y+c
1
z+d
1
=0，
a
2
x+b
2
y+c
2
z+d
2
=0，
a
3
x+b
3
y+c
3
z+d
3
=0，
求r(
)．
选项
答案
记α
i
=(a
i
，b
i
，c
i
) (i=1，2，3)是平面的法向量，A=[*]是方程组的系数矩阵，[*]是增广矩阵，β
i
=(a
i
，b
i
，c
i
，d
i
)是α
i
的延伸向量． (Ⅰ)平面两两不平行，有且仅有一个公共点的充要条件是r(A)=r[*]=3． 这可从方程组有唯一解来推导，亦可从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因而α
1
，α
2
，α
3
线性无关，即r(A)=3，α
i
延伸后β
i
仍线性无关．故r[*]=3． (Ⅱ)三个平面两两相交，围成一个三棱柱的充要条件是α
1
，α
2
，α
3
线性相关，但任两个线性无关，且r[*]=3． 法向量在与三棱柱的棱垂直的平面上，因而α
1
，α
2
，α
3
共面，但不共线，因此α
1
，α
2
，α
3
线性相关，但任两个线性无关，从而r(A)=2，此时方程组无解，r[*]=3． (Ⅲ)三个平面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是α
1
，α
2
，α
3
线性相关，但任两个线性无关，且r[*]=2． (Ⅳ)有两个平面平行(不重合)，第三个平面与它们相交的充要条件是α
1
，α
2
线性相关，但α
3
不能用α
1
，α
2
线性表出，且r[*]=3． (Ⅴ)有两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是β
1
，β
2
线性相关，但α
3
不能用α
1
，α
2
线性表出，且r[*]=2． [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7fS4777K
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考研数学一
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