求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

admin2017-05-31 32

问题求功：
(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?
(Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

选项

答案(Ⅰ)以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)． [*] [*]取下半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x+dx][*][－1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1－x²)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功dω₁=(1+x)π(1－x²)dx．因此，对下半球做的功 ω₁ =∫_－1⁰π(1+x)(1－x²)dx． [*]取上半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x+dx][*][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1－x²)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dω₂=π(1－x²)dx．因此，对上半球做的功 ω₂=∫₀¹π(1－x²)dx．于是，对整个球做的功为 [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]． [*] [*][x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R²－x²)dx，又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dω=πx(R²－x²)dx．因此，所求的功 [*]

解析

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考研数学二

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求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

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