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设f(x)在x=2的某邻域内可导,且f'(x)=ef(x),f(2)=3,则f(n)(2)=_________。
设f(x)在x=2的某邻域内可导,且f'(x)=ef(x),f(2)=3,则f(n)(2)=_________。
admin
2019-01-25
42
问题
设f(x)在x=2的某邻域内可导,且f'(x)=e
f(x)
,f(2)=3,则f
(n)
(2)=_________。
选项
答案
(n-1)!e
3n
解析
本题考查数学归纳法求高阶导数。首先通过多次求导找出f
(n)
(x)的表达式,再将x=2代入最终表达式得出结果。
对f'(x)=e
f(x)
两端求导可得f"(x)=e
f(x)
·f'(x)=e
2f(x)
,对上式两端继续求导可得
,对上式两端继续求导可得f
(4)
(x)=2e
3f(x)
·3f'(x)=6e
4f(x)
,根据数学归纳法可知,f
(n)
(x)=(n-1)!e
nf(x)
,结合f(2)=3可知,f
(n)
(2)=(n-1)!e
nf(2)
=(n-1)!e
3n
。
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考研数学三
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