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设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似,试证:A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证:(1)的逆命题成立.
设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似,试证:A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证:(1)的逆命题成立.
admin
2017-07-26
71
问题
设A,B为同阶方阵,
(1)如果A,B相似,试证:A,B的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证:(1)的逆命题成立.
选项
答案
(1)若A,B相似,则存在可逆矩阵P,使得P
—1
AP=B,故 |λE一B|=|λE一P
—1
AP|=|P
—1
(λE一A)P| =|P
—1
||λE一A||P|=|λE一A|. (2)令A=[*],则 |λE一A|=|λE一B|=(λ一1)
2
. 但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使 B=P
—1
AP=P
—1
P=E,矛盾. (3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则有 [*] 于是(PQ
—1
)
—1
A(PQ
—1
)=B.故A,B为相似矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U5H4777K
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考研数学三
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