2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证：A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证：(1)的逆命题成立．

设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证：A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证：(1)的逆命题成立．

admin2017-07-26  58
问题 设A，B为同阶方阵，
(1)如果A，B相似，试证：A，B的特征多项式相等．
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证：(1)的逆命题成立．
选项
答案(1)若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得P—1AP=B，故 ｜λE一B｜=｜λE一P—1AP｜=｜P—1(λE一A)P｜ =｜P—1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜． (2)令A=[*]，则 ｜λE一A｜=｜λE一B｜=(λ一1)2． 但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使 B=P—1AP=P—1P=E，矛盾． (3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，λ2，…，λn，则有 [*] 于是(PQ—1)—1A(PQ—1)=B．故A，B为相似矩阵．
解析
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考研数学三

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