[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

admin2021-01-19 58

问题 [2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

选项 A、A^T与B^T相似
B、A^-1与B^-1相似
C、A+A^T与B+B^T相似
D、A+A^-1与B+B^-1相似

答案C

解析由命题2．5．3．1(1)②，③知选项(A)、(B)都正确，可利用它们相似的定义及运算证明选项(D)也正确．仅(C)入选．
因A～B，故存在可逆矩阵P，使得
B=P～AP ①
在式①两边取转置，得到 B^T=(P^-1AP)^T=P^TA^T(P^-1)^T=[(P^T)^-1]^-1A^T[(P^T)^-1]，故A^T与B^T相似，选项(A)正确．
在式①两边求逆运算，得到 B^-1=(P^-1AP)^-1=P^-1A^-1(P^-1)^-1=P^-1A^-1P ②
故A与A^-1相似．选项(B)正确．
由式①+式②得B+B^-1=P^-1AP+P^-1A^-1P=P(A+A^-1)P，故A+A^-1～B+B^-1．
选项(D)正确．仅(C)入选．

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考研数学二

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