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设3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,矩阵A与矩阵B相似,则下列矩阵可逆的是( ).
设3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,矩阵A与矩阵B相似,则下列矩阵可逆的是( ).
admin
2021-12-09
55
问题
设3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,矩阵A与矩阵B相似,则下列矩阵可逆的是( ).
选项
A、B+E.
B、B
T
+E.
C、B
-1
+E.
D、B
*
-E.
答案
D
解析
由于矩阵B
T
与B具有相同的特征值,所以B
T
+E与B+E具有相同的特征值,故|B
T
+E|=|B+E|,B
T
+E与B+E要么都可逆,要么都不可逆,A,B不正确.
由题意知,B的特征值也为-1,1,2,从而B
-1
的特征值为-1,1,
;由|B|=-2知B
*
的特征值为2, 2,-1,进一步可知B
-1
+E的特征值为0,2,
,B
*
-E的特征值为1,-3,-2,因为|B
-1
+E|=0,所以B
-1
+E不可逆,C不正确,由|B
*
-E|=6≠0,知B
*
-E可逆,应选D
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考研数学三
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