2. 考研
  3. (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2018-01-23  46
问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．
选项
答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜＝｜B｜． 因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP＝B， 而A*＝｜A｜A－1，B*＝｜B｜B－1， 于是由P－1AP＝B，得(P－1AP)－1＝B－1，即P－1A－1P＝B－1， 故P－1｜A｜A－1P＝｜A｜B－1或P－1A*P＝B*，于是A*～B*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P－1AP＝B，即AP＝PB， 于是AP＝PBPP－1＝P(BP)P－1，故AP～BP．
解析
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考研数学三

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