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(03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
(03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2018-08-01
56
问题
(03)已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,l
2
:bx+2cy+3a=0,l
3
:cx+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
必要性 设三直线交于一点(
0
,y
0
),则[x
0
,y
0
,1]
T
为方程组Ax=0的非零解,其中矩阵 [*] 于是有|A|=0,而 |A|=[*]=-6(a+b+c)[a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac] =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
] 但(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0,故得a+b+c=0. 充分性 设a+b+c=0.考虑线性方程组 [*] 对其增广矩阵作初等行变换,得 [*] 可知方程组(*)等价于方程组 [*] 因为[*]=2(ac-b
2
) (将c=-a-b代入) =-2[a(a+b)+b
2
]=-[a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0. 故方程组(**)有惟一解,所以方程组(*)有惟一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/82j4777K
0
考研数学二
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