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设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…).则下列结论正确的是( )
设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…).则下列结论正确的是( )
admin
2021-01-19
115
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令u
n
=f(n)(n=1,2,…).则下列结论正确的是( )
选项
A、若u
1
>u
2
,则{u
n
}必收敛。
B、若u
1
>u
2
,则{u
n
}必发散。
C、若u
1
<u
2
,则{u
n
}必收敛。
D、若u
1
<u
2
,则{u
n
}必发散。
答案
D
解析
选项A:设f(x)=-lnx,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,u
1
>u
2
,但{u
n
}={-lnn)发散,排除A;
选项B:设f(x)=1/x,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,u
1
>u
2
,但{u
n
}={1/n}收敛,排除B;
选项C:设f(x)=x
2
,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,u
1
<u
2
,但{u
n
}={n
2
}发散,排除C;
选项D:由拉格朗日中值定理,有
u
n+1
-u
n
=f(n+1)-f(n)=f’(ξ
n
)(n+1-n)=f’(ξ
n
),
其中ξ
n
∈(n,n+1)(n=1,2,…)。由f"(x)>0知,f’(x)单调增加,故
f’(ξ
1
)<f’(ξ[2])<…<f’(ξ
n
)<…,
所以u
n+1
=u
1
+
(u
k+1
-u
k
)=u
1
+
f’(ξ
k
)>u
1
+nf’(ξ
1
)=u
1
+n(u
2
-u
1
),
于是当u
2
-u
1
>0时,推得
u
n+1
=+∞,故选D。
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