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  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )

设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )

admin2021-01-19  140
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是(    )
选项 A、若u1＞u2，则{un}必收敛。
B、若u1＞u2，则{un}必发散。
C、若u1＜u2，则{un}必收敛。
D、若u1＜u2，则{un}必发散。
答案D
解析 选项A：设f(x)=－lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={－lnn)发散，排除A；
选项B：设f(x)=1／x，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={1／n}收敛，排除B；
选项C：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；
选项D：由拉格朗日中值定理，有
un+1－un=f(n+1)－f(n)=f’(ξn)(n+1－n)=f’(ξn)，
其中ξn∈(n，n+1)(n=1，2，…)。由f"(x)＞0知，f’(x)单调增加，故
f’(ξ1)＜f’(ξ[2])＜…＜f’(ξn)＜…，
所以un+1=u1+(uk+1－uk)=u1+f’(ξk)＞u1+nf’(ξ1)=u1+n(u2－u1)，
于是当u2－u1＞0时，推得un+1=+∞，故选D。
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考研数学二

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