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设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2,一1,a+2,1)T,α2=(一1,2,4,a+8)T. (I)求方程组(1)的一个基础解系; (Ⅱ)当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?若有,求出所有非
设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2,一1,a+2,1)T,α2=(一1,2,4,a+8)T. (I)求方程组(1)的一个基础解系; (Ⅱ)当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?若有,求出所有非
admin
2016-03-05
80
问题
设四元齐次线性方程组(1)为
而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α
1
=(2,一1,a+2,1)
T
,α
2
=(一1,2,4,a+8)
T
.
(I)求方程组(1)的一个基础解系;
(Ⅱ)当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?若有,求出所有非零公共解.
选项
答案
(I)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换,有[*]由于n—r(A)=4—2=2,基础解系由2个线性无关的解向量所构成,取x
3
,x
4
为自由变量,得β
1
=(5,一3,1,0)
T
,β
2
=(一3,2,0,1)
T
是方程组(1)的基础解系. (Ⅱ)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解,则η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,其中k
1
,k
2
与l
1
,l
2
均是不全为0的常数.由k
1
β
1
+k
2
β
2
一l
1
α
1
一l
2
α
2
=0,得齐次方程组(3)[*]对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,有[*]于是η=(l
1
+4l
2
)β
1
+(l
1
+7l
2
)β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
.所以α=一1时,方程组(1)与(2)有非零公共解,且公共解是l
1
(2,一1,1,1)
T
+l
2
(一1,2,4,7)
T
,l
1
,l
2
为任意常数.
解析
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考研数学二
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