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  3. 设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T． (I)求方程组(1)的一个基础解系； (Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非

设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T． (I)求方程组(1)的一个基础解系； (Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非

admin2016-03-05  55
问题 设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T．
(I)求方程组(1)的一个基础解系；
(Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解．
选项
答案(I)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有[*]由于n—r(A)=4—2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x3，x4为自由变量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系． (Ⅱ)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数．由k1β1+k2β2一l1α1一l2α2=0，得齐次方程组(3)[*]对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有[*]于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2．所以α=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数．
解析
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考研数学二

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