设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数，且f(0)=0，它的反函数为x=g(y)，证明：不等式∫0af(x)dx+∫0bdy≥ab．

admin2022-06-04 79

问题设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数，且f(0)=0，它的反函数为x=g(y)，证明：不等式∫₀^af(x)dx+∫₀^bdy≥ab．

选项

答案因y=f(x)在x≥0上严格单调递增，故f(x)＞f(0)=0，且反函数x=g(y)也单调增加，且g(0)=0，g(x)＞g(0)=0，显然f[g(y)]=y，g[f(x)]=x．若g(B)≥a，则利用定积分的可积性与不等式性质，有 ∫₀^af(x)dx+∫₀^bg(y)dy=∫₀^af(x)dx+∫₀^g(B)g[f(x)]d[f(x)] =∫₀^af(x)dx+∫₀^axd[f(x)]+∫_a^g(B)xd[f(x)] =∫₀^a[xf(x)]’dx+∫_a^g(B)xd[f(x)] ≥af(A)+∫_a^g(B)ad[f(x)]=af(A)+a[f(g(B)])-f(A)]=ab

解析

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