2. 考研
  3. 设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数，且f(0)=0，它的反函数为x=g(y)，证明：不等式∫0af(x)dx+∫0bdy≥ab．

设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数，且f(0)=0，它的反函数为x=g(y)，证明：不等式∫0af(x)dx+∫0bdy≥ab．

admin2022-06-04  105
问题 设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数，且f(0)=0，它的反函数为x=g(y)，证明：不等式∫0af(x)dx+∫0bdy≥ab．
选项
答案因y=f(x)在x≥0上严格单调递增，故f(x)＞f(0)=0，且反函数x=g(y)也单调增加，且g(0)=0，g(x)＞g(0)=0，显然f[g(y)]=y，g[f(x)]=x． 若g(B)≥a，则利用定积分的 可积性与不等式性质，有 ∫0af(x)dx+∫0bg(y)dy=∫0af(x)dx+∫0g(B)g[f(x)]d[f(x)] =∫0af(x)dx+∫0axd[f(x)]+∫ag(B)xd[f(x)] =∫0a[xf(x)]’dx+∫ag(B)xd[f(x)] ≥af(A)+∫ag(B)ad[f(x)]=af(A)+a[f(g(B)])-f(A)]=ab
解析
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考研数学三

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