设A，B为n阶矩阵，如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化。中正确的命题为(

admin2022-06-19 49

问题设A，B为n阶矩阵，如下命题：
①若A²～B²，则A～B；
②若A～B且A，B可逆，则A^-1+A²～B^-1+B²；
③若A，B特征值相同，则A～B；
④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化。
中正确的命题为( )。

选项 A、①③
B、①②
C、②③
D、②④

答案D

解析取A=

，B=

，因为A²=B²=0，所以A²～B²，
因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，
从而P^-1A^-1P=B^-1且P^-1A²P=B²，于是P^-1(A^-1+A²)P=B^-1+B²，
即A^-1+A²～B^-1+B²，则②正确；
设A=

，B=

，显然A，B特征值相同，而r(A)≠r(B)，故A与B不相似，则③不正确，
设A～B.即存在可逆阵P₁，使得P₁^-1AP₁=B且A，B的特征值相同.设其为λ₁，…，λ_n，
因为A可相似对角化，所以存在可逆阵P₂，使得
P₂^-1AP₂=

，即A=P₂

P₂^-1，
于是A=P₁BP₁^-1=P₂

P₂^-1，即
P₂^-1P₁BP₁^-1=

，或(P₁^-1P₂)^-1BP₁^-1P₂^{=，
故B可相似对角化，则④正确，应选D。}

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考研数学三

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