求函数F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt (0≤x≤1)的凹凸区间．

admin2018-06-14 57

问题求函数F(x)=∫₀¹(1一t)｜x一t｜dt (0≤x≤1)的凹凸区间．

选项

答案因当0≤x≤1时， F(x)=∫₀¹(1一t)｜x一t｜dt=∫₀^x(1一t)(x一t)dt+∫_x¹(1一t)(t一x)dt =x∫₀^x(1一t)dt—∫₀^x(1一t)tdt+∫_x¹t(1一t)dt一x∫_x¹(1一t)dt．从而 F’(x)=∫₀^x(1—t)dt+x(1一x)一(1—x)x一x(1—x)一∫_x¹(1一t)dt+x(1一x) =∫₀^x(1一t)dt一∫_x¹(1一t)dt， F"(x)=1一x+(1一x)=2(1一x)＞0，[*]x∈(0，1)．由F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内F"(x)＞0，故区间[0，1]上y=F(x)的图像是凹弧．

解析

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