2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[α，+∞)上具有2阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

已知函数f(x)在区间[α，+∞)上具有2阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

admin2017-04-24  50
问题 已知函数f(x)在区间[α，+∞)上具有2阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．
选项
答案曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线方程为 y一f(b)=f’(b)(x一b) 该切线与x轴交点处的x坐标为x0=[*] 由于f’(x)＞0，则f’(b)＞0，f(x)单增，f(b)＞f(a)＞0，则 x0=b一[*]＜b 欲证x0＞a，等价于证明b一[*]＞a，又f’(b)＞0，则等价于证明 f’(b)(b一a)＞f(b) 事实上f(b)=f(b) 一 f(a)=f’(ξ)(b一a) a＜ξ＜b 由于f"(x)＞0，则f’(x)单调增，从而f’(ξ)＜f’(b)，则 f(b)=f(ξ)(b一a)＜f’(b)(b一a) 原题得证．
解析
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考研数学二

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