设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0).证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η).

admin2022-10-12  32

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0).证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η).

选项

答案令F(x)=x2,F’(x)=2x≠0(a<x<b),由柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(η)/F’(η),即[f(b)-f(a)]/(b2-a2)=f’(η)/2η,整理得[f(b)-f(a)]/(b-a)=(a+b)/2ηf’(η),再由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,b),使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=f’(ξ),故f’(x)=(a+b)/2ηf’(η).

解析
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