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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0).证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0).证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η).
admin
2022-10-12
75
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0).证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)=(a+b)/2ηf’(η).
选项
答案
令F(x)=x
2
,F’(x)=2x≠0(a<x<b),由柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(η)/F’(η),即[f(b)-f(a)]/(b
2
-a
2
)=f’(η)/2η,整理得[f(b)-f(a)]/(b-a)=(a+b)/2ηf’(η),再由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,b),使得[f(b)-f(a)]/(b-a)=f’(ξ),故f’(x)=(a+b)/2ηf’(η).
解析
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考研数学三
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