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求y=∫0x(1-t)arctantdt的极值.
求y=∫0x(1-t)arctantdt的极值.
admin
2022-10-12
60
问题
求y=∫
0
x
(1-t)arctantdt的极值.
选项
答案
令y’=(1-x)arctanx=0,得x=0或x=1,y"=-arctanx+(1-x)/(1+x
2
)因为y"(0)=1>0,y"(1)=-π/4<0,所以x=0为极小值点,极小值为y=0;x=1为极大值点,极大值为y(1)=∫
0
1
(1-t)arctantdt=∫
0
1
arctantdt-∫
0
1
tarctantdt=tarctant|
0
1
-∫
0
1
t/(1+t
2
)dt-t
2
/2arctant|
0
1
+1/2∫
0
1
t
2
/(1+t
2
)dt=π/4-1/2ln2-π/8+1/2-π/8=1/2(1-ln2).
解析
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考研数学三
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