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(2006年试题,22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
(2006年试题,22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
admin
2013-12-18
93
问题
(2006年试题,22)已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
选项
答案
(I)用线性相关性判断秩的方法.依题意,设α
1
,α
2
,α
3
,是非齐次方程组的3个线性无关的解,则α
1
一α
2
,α
1
-α
3
是Ax=0线性无关的解.所以n—rA≥2,即rA≤2又矩阵A中有二阶子式不为0,于是rA≥2.所以秩rA=2.(Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换,有[*]由rA=r([*])=2(已证)→a=2,b=一3又α=(2,一3,0,0)
T
是原方程组的解,η
1
=(一2,1,1,0)
T
,η
2
=(4,一5,0,1)是Ax=0的基础解系,所以原方程组的通解是[*](k
1
,k
2
为任意常数)
解析
本题考查了解线性方程组的方法,矩阵的秩和基础解系等知识点,解非齐次线性方程组,一般转化为增广矩阵的秩的问题进行求解,若rA≠r(
),则非齐次线性方程组无解;若rA=r(
)=n,则非齐次线性方程组有唯一解;若rA=r(
)
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考研数学二
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