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  3. (2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

admin2013-12-18  104
问题 (2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(I)用线性相关性判断秩的方法．依题意，设α1，α2，α3，是非齐次方程组的3个线性无关的解，则α1一α2,α1－α3是Ax=0线性无关的解．所以n—rA≥2，即rA≤2又矩阵A中有二阶子式不为0，于是rA≥2．所以秩rA=2．(Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换，有[*]由rA=r([*])=2(已证)→a=2，b=一3又α=(2，一3，0，0)T是原方程组的解，η1=(一2，1，1，0)T，η2=(4，一5，0，1)是Ax=0的基础解系，所以原方程组的通解是[*](k1，k2为任意常数)
解析 本题考查了解线性方程组的方法，矩阵的秩和基础解系等知识点，解非齐次线性方程组，一般转化为增广矩阵的秩的问题进行求解，若rA≠r()，则非齐次线性方程组无解；若rA=r()=n，则非齐次线性方程组有唯一解；若rA=r()
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考研数学二

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