2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2016-04-11  38
问题 设A，B为同阶方阵，   
(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
选项
答案(1)由A，B相似知，存在可逆方阵P，使P—1AP=B，故 ｜λE一B｜=｜λE一P—1AP｜=｜P—1λEP一P—1AP｜ =｜P—1(λE一A)P｜=｜P—1｜｜λE一A｜｜P｜ =｜P—1｜P｜｜λE一A｜=｜λE一A｜ (2)令A=[*]，则有 ｜λE一A｜=λ2=｜λE—B｜， 但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使 P—1AP=B=O。 从而A=POP—1=O，这与A≠O矛盾． (3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，则A与B有相同的特征值，设A(B)的全部特征值为λ1，λ2，…，λN，则A，B都相似于对角阵 [*] 于是有 (PQ—1)—1A(PQ—1)=B 由PQ—1可逆知A与B相似．
解析
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考研数学一

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