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设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
admin
2016-04-11
82
问题
设A,B为同阶方阵,
(1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
选项
答案
(1)由A,B相似知,存在可逆方阵P,使P
—1
AP=B,故 |λE一B|=|λE一P
—1
AP|=|P
—1
λEP一P
—1
AP| =|P
—1
(λE一A)P|=|P
—1
||λE一A||P| =|P
—1
|P||λE一A|=|λE一A| (2)令A=[*],则有 |λE一A|=λ
2
=|λE—B|, 但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使 P
—1
AP=B=O。 从而A=POP
—1
=O,这与A≠O矛盾. (3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.若A,B的特征多项式相等,则A与B有相同的特征值,设A(B)的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
N
,则A,B都相似于对角阵 [*] 于是有 (PQ
—1
)
—1
A(PQ
—1
)=B 由PQ
—1
可逆知A与B相似.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Aw4777K
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考研数学一
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